محتويات الدورة

برمجة R / واجهات التحليل وسلامة الجداول / الدرس 10

الاحتمالات والعشوائية والمحاكاة

ميز التعداد الدقيق وحساب التوزيع ودليل مونت كارلو.

وقت القراءة التقريبي: 4 دقيقةتاريخ مراجعة المحتوى
في هذه الصفحة

أهداف الدرس

  • تعريف نموذج احتمال قبل السحب.
  • استخدام البذرة وإعداد المولد بصورة مقصودة.
  • تفسير خطأ المحاكاة والاعتماد.

تحتاج العشوائية نموذجاً صريحاً

تسحب المحاكاة من توزيع رياضي معلن، ولا تتعلم هل يصف عملية حقيقية. حدد النتائج والاحتمالات والاعتماد والكمية المطلوبة. تفترض تجربتان ثنائيتان عادلتان مستقلتان أربعة أزواج متساوية الاحتمال؛ ويغير عدم العدل أو الاعتماد هذه الأوزان. يسرد المثال الأزواج ويعد النجاحات، فيعطي توزيعاً دقيقاً لنموذجه. يغيب خطأ السحب لأن الحالات قليلة ومحسوبة كلها، لكنه لا يقدم دليلاً تجريبياً عن عملات أو آلات أو أشخاص أو مجتمع خارجي.

لبوادئ دوال التوزيع أدوار مختلفة

توفر عائلات R عادة d للكثافة أو الكتلة وp للتراكم وq للكميات وr للسحب. لا تساوي الكثافة احتمال نقطة في متغير مستمر. حدد اتجاه الذيل وخيار اللوغاريتم ومعاني المعاملات. لا يساوي الانحراف المعياري الطبيعي التباين، ولا يساوي عدد تجارب الثنائي عدد صفوف المحاكاة. افحص حالات صغيرة معلومة؛ ويوفر تعداد التجربتين مرجعاً مستقلاً لاحتمالات الثنائي المقابل.

r برنامج توضيحي بلغة R الأساسية؛ لم تتوفر بيئة R أثناء المراجعة
outcomes <- expand.grid(first = 0:1, second = 0:1)
counts <- table(factor(rowSums(outcomes), levels = 0:2))
probabilities <- as.numeric(counts)/nrow(outcomes)
cat("counts=", paste(as.integer(counts), collapse = ","), "\n", sep = "")
cat("probabilities=", paste(probabilities, collapse = ","), "\n", sep = "")
cat("expected successes=", sum((0:2)*probabilities), "\n", sep = "")
الناتج المتوقع
counts=1,2,1
probabilities=0.25,0.5,0.25
expected successes=1

التعداد دقيق لأن الأزواج الثنائية الأربعة متساوية الاحتمال وفق تجربتين عادلتين مستقلتين.

تحدد البذرة بداية حالة عشوائية

يعيد المثال البذرة قبل سحبين متماثلين ويقارنهما داخل جلسة واحدة، ولا يعرض تسلسلاً عالمياً مزعوماً للوجوه. تعتمد الإعادة على نوع المولد وخوارزمية السحب والإصدار وترتيب الاستدعاء. احفظ الإعداد واستخدم أدوات المولد الموثقة لا تعديل أعداد حالته يدوياً. قد يعيد تثبيت البذرة داخل كل تكرار السحب نفسه خطأً. حدد هل الأعداد المشتركة تقنية مقارنة مقصودة أم فقداً عرضياً لاستقلال التكرارات.

r برنامج توضيحي بلغة R الأساسية؛ لم تتوفر بيئة R أثناء المراجعة
set.seed(17)
first <- sample.int(6L, size = 5L, replace = TRUE)
set.seed(17)
second <- sample.int(6L, size = 5L, replace = TRUE)
cat("same within session=", identical(first, second), "\n", sep = "")
cat("draw count=", length(first), "\n", sep = "")
cat("valid faces=", all(first >= 1L & first <= 6L), "\n", sep = "")
الناتج المتوقع
same within session=TRUE
draw count=5
valid faces=TRUE

تكرر البذرة السحب في إعداد المولد نفسه؛ ولا نفترض قيماً بعينها أو تطابقاً عبر الإصدارات.

لتقديرات مونت كارلو خطأ محاكاة

يقرب متوسط التكرارات توقعاً تحت النموذج المقدم ويتغير بسبب محدودية السحب ولو ثبتت المعاملات. مع الاستقلال والتباين المنتهي المناسبين، ينخفض الخطأ المعياري للمتوسط تقريباً بجذر عدد التكرارات. لا يعمم ذلك على السلاسل المعتمدة أو الذيول الثقيلة أو الأحداث النادرة. احفظ عدد التكرارات الصالحة وسياسة النتائج المرفوضة. افصل خطأ المحاكاة عن عدم اليقين في النموذج؛ فلا تزيل تكرارات أكثر خطأ نموذج غير مناسب.

اجعل المقارنة قابلة للتدقيق

اكتب دالة لتكرار واحد بمدخلات ومخرجات صريحة ثم اجتيازاً مضبوطاً. احفظ الكمية المستهدفة وسياسة الفشل ولا تنتق النتائج المواتية. قارن حالة دقيقة أو ثابتاً تحليلياً عند الإمكان. عرف تجربة البيانات المتكررة قبل عد تغطية الفواصل أو رفض الفروض. لا ينفذ المساق R أو مجاري عشوائية متوازية أو بيانات خارجية. تستند التوقعات إلى التعداد وثوابت المولد داخل جلسة، ولم يقس تسلسل سحب أو دقة مونت كارلو أثناء المراجعة.

الأخطاء الشائعة وإصلاحها

تكرر السحب العشوائي نفسه كل مرة

لماذا يحدث؟
أعيدت البذرة نفسها داخل التكرار.
كيف تصلحه؟
ثبتها عند حد التجربة أو صرح بسياسة مجارٍ مقصودة.
كيف تتجنب تكراره؟
افحص تقدم الحالة بين التكرارات المستقلة.

عُرضت كثافة مستمرة كاحتمال نقطة

لماذا يحدث؟
اختلطت واجهتا d وp.
كيف تصلحه؟
استخدم فترات وحساب تراكم مناسباً.
كيف تتجنب تكراره؟
صرح بانفصال المتغير أو استمراره.

اعتُبرت كثرة المحاكاة إثباتاً للنموذج الواقعي

لماذا يحدث؟
اختلط خطأ مونت كارلو بصلاحية النموذج.
كيف تصلحه؟
افحص الافتراضات والدليل الخارجي مستقلاً.
كيف تتجنب تكراره؟
وسم النتائج بنموذجها الاحتمالي.

اختبر فهمك

1. ما احتمال نجاح واحد في تجربتين ثنائيتين عادلتين مستقلتين؟

اعرض الحل المشروح

الزوجان (0,1) و(1,0) حالتان من أربع متساوية، فالاحتمال نصف. إذا تغير الاستقلال أو عدل التجربتين وجب استخدام احتمالات مشتركة جديدة، لا إبقاء النصف تلقائياً.

2. لماذا ينصف تكبير التكرارات المستقلة أربع مرات الخطأ المعياري غالباً؟

اعرض الحل المشروح

في نموذج مستقل ذي تباين منتهٍ يتناسب الخطأ مع 1/sqrt(n)، واستبدال n بـ4n يعطي النصف. يتعلق ذلك بتقلب متوسط المحاكاة، ولا يثبت صحة التوزيع أو استقلاله.

أهم ما تعلمته

  • عرف النموذج قبل السحب.
  • تحدد البذرة والمولد والترتيب قابلية الإعادة.
  • دقة المحاكاة وصلاحية النموذج سؤالان مختلفان.

المراجع الرسمية